1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Dimenzija 3

2
00:00:10,540 --> 00:00:14,530
Zdaj sem na vrsti jaz, da vam 
razkažem vrtove geometrije.

3
00:00:14,560 --> 00:00:19,650
Sem Maurits Cornelis Escher, 
nizozemski umetnik iz 20. stoletja.

4
00:00:21,570 --> 00:00:24,560
Geometrija mi je bila 
neizčrpen vir navdiha.

5
00:00:24,670 --> 00:00:28,630
Bil sem mojster v umetnosti 
risanja fantastičnih tlakovanj.

6
00:00:30,540 --> 00:00:34,610
Poglejte ta avtoportret 
v sferičnem ogledalu.

7
00:00:35,540 --> 00:00:40,570
Ena mojih najbolj slavnih slik
prikazuje kuščarje v ravnini,

8
00:00:40,690 --> 00:00:45,550
ki jim uspe 
uiti iz papirja.

9
00:00:46,580 --> 00:00:50,580
Zdaj z varne višine gledajo
navzdol na ploščato življenje.

10
00:00:53,610 --> 00:01:01,580
Za pripravo na štirirazsežno življenje
bomo uporabili ideje iz mojih grafik

11
00:01:01,610 --> 00:01:07,580
in knjižice, ki jo je konec 19. stoletja
objavil Edwin Abbott, angleški klerik,

12
00:01:07,610 --> 00:01:12,580
njen naslov je 
Ploščavija (Flatland).

13
00:01:13,660 --> 00:01:19,630
Poskusimo razložiti ploščatim bitjem, 
ki živijo večno ujeta v ravnini,

14
00:01:20,560 --> 00:01:26,680
kakšno je vsakodnevno 
življenje v treh dimenzijah.

15
00:01:39,540 --> 00:01:46,750
Predstavljajmo si, da neki kuščar
ubeži svojemu nesrečnemu obstoju

16
00:01:46,780 --> 00:01:52,680
in spleza do točke, od koder lahko 
pogleda navzdol na svoj svet.

17
00:01:53,660 --> 00:02:01,630
Kako naj razloži svojim prijateljem
obstoj trirazsežnih objektov?

18
00:02:04,560 --> 00:02:12,530
V prvem poskusu zapelje skozi svoj
ploščati svet nekaj trirazsežnih stvari.

19
00:02:15,560 --> 00:02:24,530
Tako na primer potuje skozi ravnino
tetraeder s svojimi štirimi lici.

20
00:02:27,680 --> 00:02:35,650
Naenkrat se prikaže zelen trikotnik,
ki se nato počasi zmanjša in izgine.

21
00:02:36,660 --> 00:02:42,570
To je vse, kar vidijo kuščarji,
kajti njihovi čuti so omejeni

22
00:02:42,720 --> 00:02:46,670
in ne zaznajo ničesar 
izven njihove ravnine.

23
00:02:47,640 --> 00:02:51,580
Ko kuščar vidi zelene mnogokotnike, 
ki se pojavijo, spreminjajo obliko

24
00:02:51,640 --> 00:02:55,550
in zopet izginejo, si 
morda lahko predstavlja

25
00:02:55,620 --> 00:03:01,430
obliko predmeta, ki je 
pravkar prečkal ravnino.

26
00:03:01,650 --> 00:03:06,550
Da boste videli, kako 
težko si je predstavljati

27
00:03:06,690 --> 00:03:11,450
obliko geometrijskega telesa  
iz njegovih prečnih prerezov, 

28
00:03:11,590 --> 00:03:17,550
poskusite uganiti, kaj 
prečka ravnino zdaj!

29
00:03:20,680 --> 00:03:26,650
To je tetraeder.

30
00:03:39,560 --> 00:03:42,610
In zdaj?

31
00:03:43,620 --> 00:03:46,610
To je kocka!

32
00:03:47,560 --> 00:03:53,770
Seveda se morate spomniti, da 
kuščarji nimajo naše perspektive.

33
00:03:54,560 --> 00:04:00,470
Vidijo le zaporedje likov,
zato morajo razviti razumevanje globine,

34
00:04:00,560 --> 00:04:03,570
da bi lahko zares 
dojeli obliko telesa.

35
00:04:03,690 --> 00:04:05,530
In kaj je to?

36
00:04:09,680 --> 00:04:15,650
Oktaeder z osmero lici.

37
00:04:24,750 --> 00:04:32,530
In še ikozaeder, telo z 20 lici.

38
00:04:46,740 --> 00:04:50,700
In nazadnje...

39
00:04:51,540 --> 00:04:58,690
dodekaeder, 12 lic, 
20 oglišč in 30 stranic.

40
00:05:02,760 --> 00:05:08,730
Zdaj vam pokažem nekaj prečnih presekov,
a samo prečne preseke,

41
00:05:08,860 --> 00:05:13,530
in uganiti boste morali polieder,
ki se skriva za njimi.

42
00:05:23,680 --> 00:05:28,640
To je bil tetraeder.

43
00:05:46,560 --> 00:05:50,770
To je bila kocka.

44
00:05:59,540 --> 00:06:01,750
Postaja zahtevno, mar ne?

45
00:06:02,580 --> 00:06:08,370
Bitja v dveh dimenzijah morajo
razviti odlično geometrijsko intuicijo,

46
00:06:08,540 --> 00:06:14,950
če želijo razumeti tretjo dimenzijo,
ki je za nas samoumevna.

47
00:06:15,560 --> 00:06:21,530
A podobne probleme bomo imeli tudi mi
pri iskanju občutka za četrto dimenzijo.

48
00:06:23,560 --> 00:06:28,750
Tu je še drugi način za predstavitev
poliedrov našim ploščatim prijateljem.

49
00:06:29,560 --> 00:06:37,550
Začnimo z napihovanjem poliedra, tako 
da oglišča in robovi ležijo na sferi.

50
00:06:37,680 --> 00:06:44,650
Nato stereografsko projiciramo
na ravnino kuščarjev,

51
00:06:44,680 --> 00:06:50,750
da bodo naši dvorazsežni prijatelji 
uživali v predstavi.

52
00:06:51,560 --> 00:06:54,670
Seveda lahko sfero zavrtimo 
in z njo vrtimo tudi tetraeder,

53
00:06:54,700 --> 00:06:59,770
podobno, kot smo prej 
naredili že z Zemljo.

54
00:07:09,600 --> 00:07:18,750
Oglejmo si kocko in preštejmo, 
koliko oglišč, stranic in lic ima. 

55
00:07:58,540 --> 00:08:01,770
In zdaj prihaja na sceno oktaeder.

56
00:08:21,540 --> 00:08:23,770
Vidite 8 obarvanih lic.

57
00:08:24,570 --> 00:08:30,550
Poglejte, projekcije robov 
so natanko krožni loki.

58
00:08:46,540 --> 00:08:52,580
Oglejmo si še ikozaeder.

59
00:09:09,540 --> 00:09:15,570
Njegova struktura je bolj zapletena,
a je kuščarjem ni pretežko razumeti.

60
00:09:15,700 --> 00:09:22,570
Vidimo lahko 20 lic, 
12 oglišč in 30 stranic.

61
00:09:22,750 --> 00:09:25,750
Znate vse prešteti?

62
00:09:32,720 --> 00:09:39,700
Nazadnje je tu še mali 
geometrijski dragulj - dodekaeder.

63
00:10:19,680 --> 00:10:22,650
Zdaj naredimo nekaj vaj!

64
00:10:22,690 --> 00:10:25,700
Postavimo se v dve dimenziji

65
00:10:25,800 --> 00:10:31,700
in poskušajmo prepoznati polieder
iz njegove stereografske projekcije.

66
00:10:31,720 --> 00:10:34,690
To je preprosto, mar ne?

67
00:10:34,760 --> 00:10:40,750
Vidimo lahko 4 lica, 
6 stranic in 4 oglišča.

68
00:10:42,570 --> 00:10:44,690
Torej mora biti tetraeder.

69
00:10:53,600 --> 00:10:56,650
Kateri pa je ta?

70
00:10:58,630 --> 00:11:02,770
Ima 6 lic in vsako 
omejujejo 4 stranice.

71
00:11:03,570 --> 00:11:09,710
Prav imate! 
To je kocka.

72
00:11:25,580 --> 00:11:28,550
Ta je bil zahtevnejši,
mar ne?

73
00:11:28,620 --> 00:11:35,530
Lica so trikotniki,
po 5 stranic gre iz vsakega oglišča.

74
00:11:36,600 --> 00:11:42,570
Vseh lic je kar precej.
Morda 20?

75
00:11:42,720 --> 00:11:47,700
To je ikozaeder. 
Dobro opravljeno!

76
00:11:54,640 --> 00:12:01,630
Oglejmo si še dodekaeder.
Vsako lice je petkotnik.

77
00:12:01,780 --> 00:12:06,570
S preštevanjem najdemo 
natanko 12 lic.

78
00:12:06,700 --> 00:12:12,570
Po 3 stranice izhajajo 
iz istega oglišča.

79
00:12:16,600 --> 00:12:20,750
Teh 5 teles že od nekdaj 
navdušuje geometre.

80
00:12:21,580 --> 00:12:25,550
Grški filozofi so jim 
pripisovali magični pomen

81
00:12:25,600 --> 00:12:31,550
v zvezi s petimi osnovnimi elementi, 
ki naj bi sestavljali svet.

82
00:12:31,600 --> 00:12:35,550
Imenujemo jih platonska telesa.

83
00:12:36,580 --> 00:12:38,570
Torej se strinjamo:

84
00:12:38,630 --> 00:12:43,570
ni enostavno dojeti tretje 
dimenzije, če si ploščat!

85
00:12:43,670 --> 00:12:46,580
Obstaja več načinov, 
kako se tega lotiti,

86
00:12:46,630 --> 00:12:51,570
a stereografska projekcija 
nam ponuja odlično predstavo.

87
00:12:51,620 --> 00:12:57,580
Zdaj se moramo pripraviti
za četrto dimenzijo.

88
00:12:57,630 --> 00:13:04,590
Naj se vaša domišljija 
pripravi za resnični trening!