1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Dimenzija 4

2
00:00:08,540 --> 00:00:15,530
Moje ime je Ludwig Schläfli.
Sem švicarski geometer.

3
00:00:18,570 --> 00:00:26,560
Živel sem v 19. stoletju in odprl 
vam bom vrata četrte dimenzije!

4
00:00:28,540 --> 00:00:33,530
Četudi vam zveni kot samohvala, 
sem bil pravi vizionar.

5
00:00:34,570 --> 00:00:43,530
Kot eden prvih sem razumel, da prostori
z veliko dimenzijami zares obstajajo 

6
00:00:43,580 --> 00:00:46,550
in da je mogoče proučevati 
njihovo geometrijo.

7
00:00:47,610 --> 00:00:54,550
Če lahko ploščata bitja iz ravnine
razumejo 3D poliedre,

8
00:00:54,610 --> 00:00:59,750
zakaj ne bi mogli mi razumeti 
poliedrov v četrti dimenziji?

9
00:01:02,580 --> 00:01:09,550
Eden mojih glavnih dosežkov je opis vseh
pravilnih poliedrov v štirih dimenzijah.

10
00:01:10,740 --> 00:01:13,710
Kaj je to četrta dimenzija?

11
00:01:13,740 --> 00:01:19,730
O tem je veliko napisanega in pisci
znanstvene fantastike ljubijo to temo.

12
00:01:20,580 --> 00:01:27,710
Jaz pa bom stvari razložil na tabli.
Videli boste, da je tale tabla čarobna.

13
00:01:27,840 --> 00:01:34,410
Pomembno je, da pozabite vse
o svetu, ki nam je znan,

14
00:01:34,560 --> 00:01:40,530
in si predstavljate nov svet,
ki ga naši čuti ne zaznajo neposredno.

15
00:01:40,660 --> 00:01:44,530
Potrebovali bomo iznajdljivost
kuščarjev iz prejšnje zgodbe.

16
00:01:44,660 --> 00:01:50,530
Splezal bom do razgledne točke,
ki je vi ne morete videti,

17
00:01:50,660 --> 00:01:53,630
in poskusil bom opisati, 
kaj vidim od tam.

18
00:01:53,660 --> 00:01:57,580
A predno začnemo, 
bom na tablo narisal premico.

19
00:01:57,660 --> 00:02:00,610
Označim si še izhodišče.

20
00:02:04,560 --> 00:02:09,550
Vsaka točka na tej premici je točno
določena z razdaljo od izhodišča,

21
00:02:09,680 --> 00:02:14,550
in znakom minus, 
če leži na levi,

22
00:02:14,740 --> 00:02:17,710
ali znakom plus, 
če leži na desni.

23
00:02:17,740 --> 00:02:23,730
Običajno to število označimo z x
in ga imenujemo abscisa.

24
00:02:24,570 --> 00:02:29,750
Ker lahko položaj točke na premici
opišemo z enim samim številom,

25
00:02:29,770 --> 00:02:32,750
rečemo, da ima premica 
dimenzijo 1.

26
00:02:33,540 --> 00:02:37,770
Zdaj narišem še eno os,
pravokotno na prvo.

27
00:02:38,560 --> 00:02:42,530
Vsaka točka v ravnini table
je natanko določena z dvema številoma,

28
00:02:42,680 --> 00:02:47,750
običajno označenima z x in y: 
to sta abscisa in ordinata.

29
00:02:48,780 --> 00:02:52,770
Ravnina ima dve dimenziji.

30
00:02:54,560 --> 00:03:01,670
Če bi morali nekomu na premici
razložiti, kaj je točka na ravnini, 

31
00:03:01,740 --> 00:03:09,730
bi lahko preprosto rekli:
Točka na ravnini je par števil.

32
00:03:10,560 --> 00:03:13,550
Pojdimo v tretjo dimenzijo.

33
00:03:15,720 --> 00:03:23,750
Kreda zdaj piše po zraku in nariše 
tretjo os, pravokotno na prvi dve.

34
00:03:26,540 --> 00:03:33,000
Točko v prostoru opišemo s tremi 
števili, označimo jih x, y in z.

35
00:03:33,700 --> 00:03:38,530
Spet bi lahko rekli plazilcem,
ki jih zanima naš svet:

36
00:03:38,680 --> 00:03:42,530
Točka v prostoru 
je trojica števil.

37
00:03:44,560 --> 00:03:47,470
Pojdimo še v četrto dimenzijo.

38
00:03:47,560 --> 00:03:55,550
Lahko bi poskusili narisati četrto os
pravokotno na ostale, a to ni mogoče!

39
00:03:56,550 --> 00:03:59,730
Izmisliti si moramo
nekaj drugega.

40
00:04:02,540 --> 00:04:10,550
Lahko bi rekli, da je točka v štirih
dimenzijah četverica števil (x,y,z,t).

41
00:04:10,780 --> 00:04:14,730
A to nam ne pomaga prav dosti.

42
00:04:14,780 --> 00:04:20,730
Kljub težavam bomo poskusili najti 
pravi občutek za to geometrijo.

43
00:04:21,540 --> 00:04:25,550
Kot prvi poskus pri razumevanju
bomo podali analogijo.

44
00:04:25,660 --> 00:04:31,650
To je daljica in to 
enakostranični trikotnik.

45
00:04:40,560 --> 00:04:46,750
In končno še pravilni tetraeder.

46
00:04:53,580 --> 00:04:58,770
Naša čarobna tabla nam 
omogoča risanje v prostoru.

47
00:04:59,580 --> 00:05:02,550
Kako bi lahko to nadaljevali
v četrti dimenziji?

48
00:05:02,600 --> 00:05:08,750
Daljica, trikotnik in tetraeder imajo
zapored 2, 3 oziroma 4 oglišča.

49
00:05:09,540 --> 00:05:13,700
Zato je smiselno nadaljevati
s petimi oglišči. Začnimo!

50
00:05:13,740 --> 00:05:18,730
Pri daljici, trikotniku ali tetraedru
je vsak par oglišč povezan s stranico.

51
00:05:18,840 --> 00:05:23,710
Torej moramo teh 5 oglišč 
povezati po vseh možnih parih.

52
00:05:23,760 --> 00:05:28,730
Štejemo: ena stranica,

53
00:05:28,780 --> 00:05:44,770
2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 in 10 stranic.

54
00:05:43,600 --> 00:05:49,600
V tetraedru obstaja trikotno lice 
za vsako trojico oglišč.

55
00:05:49,610 --> 00:05:56,570
Nadaljujemo na isti način,
pa dobimo 1, 2, 3,..., 10 lic.

56
00:05:59,540 --> 00:06:01,540
A če gremo še dlje,
moramo po analogiji

57
00:06:01,580 --> 00:06:08,570
dodati še tetraedrsko lice
za vsako množico štirih oglišč.

58
00:06:09,560 --> 00:06:11,650
Takih množic je pet.

59
00:06:12,600 --> 00:06:18,490
Zgradili smo 4-razsežen objekt.
Imenujemo ga simpleks.

60
00:06:18,630 --> 00:06:23,580
Zavrtimo ga v prostoru,
kot smo to storili s tetraedrom.

61
00:06:25,560 --> 00:06:31,550
Seveda si morate predstavljati simpleks,
ki se vrti v 4-razsežnem prostoru.

62
00:06:31,580 --> 00:06:34,550
Kar vidite, je le 
njegova projekcija na tablo.

63
00:06:34,570 --> 00:06:41,550
Morda vas malo zmede, ker se lica
prepletajo in sekajo med seboj.

64
00:06:41,670 --> 00:06:48,540
Nekaj izkušenj je pač potrebnih 
za gledanje v štirih dimenzijah.

65
00:06:51,560 --> 00:06:55,550
Vzeli bomo simpleks,
ki živi v 4D prostoru,

66
00:06:55,580 --> 00:07:00,550
ga premikali in opazovali prereze
s 3-razsežnim prostorom.

67
00:07:00,580 --> 00:07:05,550
Tako, kot bi plazilci videli nastajanje 
in izginjanje mnogokotnikov, 

68
00:07:05,580 --> 00:07:11,570
bomo videli 3-razsežni polieder,
ki se pojavi, spremeni obliko in izgine.

69
00:07:14,540 --> 00:07:18,610
Tukaj je simpleks,
ki prehaja skozi 3-razsežni svet.

70
00:07:20,560 --> 00:07:24,550
Zdaj bomo srečali še
več 4-razsežnih poliedrov, 

71
00:07:24,600 --> 00:07:27,670
med potovanjem skozi 
naš 3-razsežni svet.

72
00:07:28,560 --> 00:07:35,550
Tukaj je hiperkocka iz družine, ki se 
začne z daljico, kvadratom in kocko.

73
00:07:35,700 --> 00:07:45,670
Treba je reči, da je tako pridobivanje 
občutka za geometrijo precej zamotano.

74
00:07:45,700 --> 00:07:51,550
Jaz sem odkril 4D analoga 
ikozaedra in dodekaedra.

75
00:07:51,600 --> 00:08:00,470
Imata zapleteni imeni, zato ju bom 
poimenoval kar 120-celica in 600-celica,

76
00:08:00,600 --> 00:08:04,690
ker ima prvi 120, 
drugi pa 600 lic.

77
00:08:05,580 --> 00:08:11,570
Poglejte 120-celico, 
ki pravkar potuje skozi naš prostor.

78
00:08:16,680 --> 00:08:19,650
In zdaj je tu še 600-celica.

79
00:08:19,700 --> 00:08:26,600
Ko rečem, da ima 4D polieder 600 lic,
seveda mislim na njegova 3D lica.

80
00:08:26,730 --> 00:08:30,540
Da, teh 600 lic 
je 600 tetraedrov.

81
00:08:30,580 --> 00:08:33,570
Podobno je 120-celica 
sestavljena iz 120 dodekaedrov.

82
00:08:33,600 --> 00:08:39,550
Kmalu bomo izvedeli, 
kako se z njimi bolje spoznati.

83
00:08:47,560 --> 00:08:52,550
Da bi opazovali te 4-razsežne objekte
z našimi 3-razsežnimi očmi,

84
00:08:52,660 --> 00:08:54,740
lahko gledamo njihove sence.

85
00:08:54,760 --> 00:09:01,430
Objekti še vedno živijo v 4D prostoru,
a so projicirani v naš 3D svet,

86
00:09:01,560 --> 00:09:04,630
kot bi slikar projiciral 
pokrajino na svoje platno.

87
00:09:04,740 --> 00:09:11,610
Prav to smo ravnokar 
naredili s simpleksom.

88
00:09:17,660 --> 00:09:21,610
Tukaj je hiperkocka.

89
00:09:25,560 --> 00:09:30,750
Seveda se vrti v prostoru,
da lahko občudujemo vse podrobnosti.

90
00:09:31,560 --> 00:09:36,730
Opazimo na primer, 
da ima hiperkocka 16 oglišč.

91
00:09:53,670 --> 00:09:57,630
Tukaj je še en novinec, ki ga imam
za enega svojih najlepših odkritij.

92
00:09:58,580 --> 00:10:03,570
Objekt, ki ga imenujem 24-celica,
nima pravega analoga v treh dimenzijah.

93
00:10:03,660 --> 00:10:08,450
To je povsem 4-razsežna stvar.

94
00:10:08,600 --> 00:10:15,670
Na to odkritje sem zelo ponosen.
Mar ni čudovito?

95
00:10:15,700 --> 00:10:25,690
Ima 24 oglišč, 96 stranic, 
96 trikotnikov in 24 oktaedrov.

96
00:10:25,740 --> 00:10:30,700
Pravi mali dragulj!

97
00:10:39,680 --> 00:10:44,560
Tukaj je senca 120-celice
v vsej njeni mogočnosti!

98
00:10:44,660 --> 00:10:50,650
Morali se boste strinjati, 
da je precej zakomplicirana!

99
00:11:27,560 --> 00:11:34,610
Zlezimo vanjo in si 
oglejmo njeno strukturo.

100
00:11:40,560 --> 00:11:53,600
Glejte: 600 oglišč, 1200 stranic.

101
00:11:56,560 --> 00:11:02,750
Vsako oglišče je stik štirih stranic.
Struktura je povsem pravilna.

102
00:12:03,540 --> 00:12:06,750
Vsa oglišča in vse stranice
imajo enakovredno vlogo.

103
00:12:07,560 --> 00:12:13,470
Žal naša projekcija 
pokvari to simetrijo.

104
00:12:13,620 --> 00:12:15,630
Preizkusimo svojo domišljijo!

105
00:12:16,560 --> 00:12:19,580
Predstavljajte si objekt 
v 4D prostoru,

106
00:12:19,680 --> 00:12:25,550
kjer velika grupa vrtežev
meša oglišča in stranice.

107
00:12:25,600 --> 00:12:28,570
Prvak pa je... 
600-celica.

108
00:12:28,760 --> 00:12:40,570
Kot gigantska makromolekula
s 720 stranicami ima 120 oglišč,

109
00:12:41,560 --> 00:12:45,770
v vsakem od njih 
se stika 12 stranic.

110
00:12:53,600 --> 00:12:58,600
Naše raziskovanje 4-razsežnih
poliedrov se tukaj še ne konča.

111
00:12:58,720 --> 00:13:07,670
Stereografska projekcija nam bo dala
še boljši občutek za njihovo geometrijo.