1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Dimenzija 4 ...
Nadaljevanje

2
00:00:12,620 --> 00:00:17,610
Sfera S² je vložena v 3-razsežni
prostor, čeprav je 2-razsežna.

3
00:00:18,740 --> 00:00:23,510
Podobno lahko študiramo 3-razsežno 
sfero v 4-razsežnem prostoru.

4
00:00:23,700 --> 00:00:27,650
Sfera vsebuje vse točke, ki so 
enako oddaljene od središča.

5
00:00:27,680 --> 00:00:34,650
A za opis točke na sferi
zdaj potrebujemo tri števila.

6
00:00:34,600 --> 00:00:40,550
To pomeni, da je sfera trirazsežna
in imenovali jo bomo S³.

7
00:00:44,560 --> 00:00:48,550
Ne moremo si je zares ogledati
v 4-razsežnem prostoru,

8
00:00:48,680 --> 00:00:54,450
ker ima naš prostor le 3 dimenzije,
tale zaslon pa samo 2!

9
00:00:54,580 --> 00:00:59,550
Lahko se skličemo le 
na svojo domišljijo.

10
00:01:00,580 --> 00:01:06,550
Da bi bolje razumeli 4D poliedre,
lahko naredimo to, 

11
00:01:06,680 --> 00:01:10,550
kar so naredili
kuščarji s 3-razsežnimi.

12
00:01:10,580 --> 00:01:14,770
Najprej jih napihnemo, 
da ležijo na sferi,

13
00:01:15,560 --> 00:01:22,530
nato pa jih stereografsko 
projiciramo na ravnino.

14
00:01:24,640 --> 00:01:29,580
Polieder bomo napihovali tako dolgo,
da bodo njegova lica 

15
00:01:29,640 --> 00:01:32,630
ležala na hipersferi 
v 4D prostoru,

16
00:01:32,660 --> 00:01:35,650
potem pa ga bomo stereografsko 
projicirali nazaj v 3D prostor.

17
00:01:35,780 --> 00:01:41,600
Zdaj grem na severni pol 
sfere v 4D prostoru

18
00:01:41,660 --> 00:01:46,630
in projiciral ga bom 
navzdol v 3D prostor.

19
00:01:47,740 --> 00:01:53,550
Ne morete me videti, kje sem -
a tudi kuščarji niso videli

20
00:01:53,560 --> 00:01:56,750
svojega sorodnika 
na novem stolčku.

21
00:01:56,780 --> 00:02:01,600
Zdaj smo sami 
v povsem enaki situaciji.

22
00:02:08,560 --> 00:02:11,450
Tukaj je simpleks.

23
00:02:12,600 --> 00:02:18,570
Vidite lahko 5 oglišč
in 10 stranic.

24
00:02:20,560 --> 00:02:26,770
Seveda, iz te perspektive vidite 
stranice kot krožne loke.

25
00:02:27,580 --> 00:02:34,450
Zdaj imamo podoben položaj
kot pri 3-razsežnem poliedru,

26
00:02:34,600 --> 00:02:38,570
ko ga stereografsko 
projiciramo na ravnino.

27
00:02:39,540 --> 00:02:41,600
Tukaj je hiperkocka.

28
00:02:41,720 --> 00:02:48,700
Ni je težko razpoznati,
ima 32 stranic in 16 oglišč.

29
00:02:49,680 --> 00:02:53,530
Ta način opazovanja je 
veliko preprostejši

30
00:02:53,560 --> 00:02:57,750
kot metoda sence ali 
3-razsežnih presekov.

31
00:02:58,680 --> 00:03:08,670
Tukaj je 24-celica s 
24 oglišči in 96 stranicami.

32
00:03:15,560 --> 00:03:20,770
Nazadnje, še 120-celica...

33
00:03:35,580 --> 00:03:40,550
In 600-celica.

34
00:03:57,560 --> 00:04:02,550
Dodajmo 2-razsežna lica, 
da dobimo še boljši pregled!

35
00:04:03,600 --> 00:04:09,550
To je simpleks in 
njegovih 10 trikotnih lic.

36
00:04:09,600 --> 00:04:19,570
2-razsežna lica so deli sfere, podobno
kot so stranice deli krožnih lokov.

37
00:04:20,540 --> 00:04:26,570
Simpleks se vrti v 4D prostoru
predno ga projiciramo stereografsko;

38
00:04:26,660 --> 00:04:32,650
spomnite se vrtenja Zemlje
in gibanja projiciranih kontinentov.

39
00:04:35,700 --> 00:04:40,650
Tu in tam potuje lice
skozi projekcijski pol 

40
00:04:40,680 --> 00:04:46,770
in njegova projekcija postane neskončna;
videti je, kot da ga raznese na ekranu.

41
00:04:47,660 --> 00:04:53,630
Na hitro si oglejmo hiperkocko.

42
00:04:55,560 --> 00:05:00,750
Vidite, da je prostor razdeljen
v 8 kockastih področij,

43
00:05:00,940 --> 00:05:03,550
to so 3-razsežna lica hiperkocke.

44
00:05:05,550 --> 00:05:08,530
2-razsežna lica so videti kvadratasta, 
čeprav so napihnjena in ukrivljena.

45
00:05:12,560 --> 00:05:20,550
Vseh je natanko 24.

46
00:06:10,560 --> 00:06:13,550
Še moj ljubljenec, 24-celica.

47
00:06:15,590 --> 00:06:21,550
Poglejte ga. To je
zares imeniten objekt.

48
00:06:22,760 --> 00:06:38,650
24 oglišč, 96 stranic, 
96 trikotnikov in 24 oktaedrov.

49
00:06:41,580 --> 00:06:45,650
Po 8 stranic se stika 
v vsakem oglišču.

50
00:08:05,630 --> 00:08:11,550
Tukaj je 120-celica, poskusimo 
dojeti še njegovo geometrijo.

51
00:08:15,600 --> 00:08:21,550
4 stranice se stikajo 
v vsakem oglišču.

52
00:08:26,560 --> 00:08:31,530
2-razsežna lica so petkotniki.

53
00:08:35,600 --> 00:08:39,570
Vseh je natanko 720!

54
00:08:41,600 --> 00:08:47,600
Teh 720 petkotnikov 
ustvarja 120 dodekaedrov.

55
00:08:54,670 --> 00:08:59,650
Oglejte si vse te dodekaedre
usklajeno zložene skupaj.

56
00:09:07,660 --> 00:09:13,650
Mar ni osupljivo?

57
00:10:14,540 --> 00:10:19,540
Zaključimo s 600-celico, ki 
ima 600 tetraedrskih lic,

58
00:10:19,660 --> 00:10:26,630
1200 trikotnih lic,
720 stranic in 120 oglišč.

59
00:10:29,540 --> 00:10:35,770
Verjemite mi, ta objekt ohranja
14400 različnih simetrij!

60
00:11:06,560 --> 00:11:12,770
No, pa smo zaključili naše 
prvo potovanje v četrto dimenzijo...

61
00:11:13,770 --> 00:11:16,750
To je dimenzija, 
polna osupljivih stvari.

62
00:11:17,540 --> 00:11:22,770
Seveda pa matematikova domišljija
ni omejena na četrto dimenzijo.

63
00:11:23,540 --> 00:11:29,770
Obstajajo še peta, šesta,
n-ta dimenzija...

64
00:11:30,080 --> 00:11:34,550
In celo dimenzija neskončno!

65
00:11:35,720 --> 00:11:38,690
Vsaka dimenzija 
ima svoj značaj, 

66
00:11:38,730 --> 00:11:42,700
a če vprašate mene, 
je četrta najlepša.

67
00:11:42,720 --> 00:11:49,680
Zakaj? Morda zato, ker opisuje 
tudi nekakšno fizikalno resničnost.

68
00:11:51,610 --> 00:11:56,600
Einsteinova teorija relativnosti
iz začetka dvajsetega stoletja,

69
00:11:56,640 --> 00:12:05,630
povezuje prostor in čas
v 4-razsežen prostor-čas.

70
00:12:08,540 --> 00:12:17,470
Točka v prostor-času je dogodek,
ki ga opišemo s položajem x,y,z

71
00:12:17,560 --> 00:12:21,770
in časom t, 
ko se dogodek zgodi.

72
00:12:23,680 --> 00:12:31,650
Relativistična fizika zato zahteva
razumevanje 4-razsežne geometrije.

73
00:12:33,690 --> 00:12:39,560
Zanimivo je omeniti, da odkritja 
o 4-razsežni geometriji

74
00:12:39,660 --> 00:12:45,750
prehitevajo odkritje relativnosti
za približno 50 let.

75
00:12:46,560 --> 00:12:50,470
To je ena od mnogih povezav 
med matematiko in fiziko,

76
00:12:50,560 --> 00:12:56,530
v katerih se sonči 
zgodovina znanosti.