1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Kompleksna števila

2
00:00:08,540 --> 00:00:11,530
Sem Adrien Douady.

3
00:00:12,560 --> 00:00:17,750
Moje življensko delo v matematiki je 
bilo osredotočeno na kompleksna števila.

4
00:00:18,580 --> 00:00:25,530
Prispeval sem k algebraični geometriji
in teoriji dinamičnih sistemov.

5
00:00:25,960 --> 00:00:28,670
Kompleksna števila imajo 
dolgo zgodovino.

6
00:00:28,770 --> 00:00:36,550
Na levi sta Tartaglia in Cardano, 
matematična pionirja iz renesanse.

7
00:00:36,580 --> 00:00:42,550
Na desni sta Cauchy in Gauss, ki sta 
teorijo utrdila v devetnajstem stoletju.

8
00:00:42,580 --> 00:00:46,580
Ta števila niso tako kompleksna, 
kot bi morda sklepali po imenu.

9
00:00:46,700 --> 00:00:54,500
Najprej so jih imenovali nemogoča in
še danes jim mnogi pravijo imaginarna.

10
00:00:54,580 --> 00:01:01,580
Res je zanje treba nekaj domišljije,
a jih danes srečamo povsod v znanosti

11
00:01:01,640 --> 00:01:04,550
in se nam ne zdijo več 
posebej skrivnostna.

12
00:01:04,660 --> 00:01:09,550
Z njimi lahko recimo konstruiramo
čudovite fraktalne množice, 

13
00:01:09,580 --> 00:01:12,550
s katerimi sem se
sam veliko ukvarjal.

14
00:01:12,580 --> 00:01:19,550
Ustvaril sem celo film Dinamika zajca,
eno prvih animacij o matematiki.

15
00:01:19,680 --> 00:01:24,550
Naj začnem z razlago 
kompleksnih števil na tabli.

16
00:01:24,630 --> 00:01:27,630
Matematiki zelo radi 
pišemo po tabli...

17
00:01:28,580 --> 00:01:32,580
Kmalu boste videli, da se moje 
ravnilo, vzporednik in kotomer

18
00:01:33,600 --> 00:01:37,580
včasih obnašajo prav čudno...

19
00:01:39,540 --> 00:01:42,530
Narišimo na tablo 
črto z merilom.

20
00:01:45,540 --> 00:01:51,330
Ena najčudovitejših idej v matematiki
je povezovanje geometrije in algebre.

21
00:01:51,650 --> 00:01:56,650
To je izhodišče 
algebraične geometrije.

22
00:01:59,580 --> 00:02:03,580
Tako, kot seštevamo števila,
lahko seštevamo tudi točke.

23
00:02:05,590 --> 00:02:13,580
Tukaj sta na črti rdeča
in modra točka. Seštejmo ju!

24
00:02:13,600 --> 00:02:17,580
Dobimo zeleno točko: 
1+2=3!

25
00:02:18,590 --> 00:02:25,580
Ko se rdeča in modra točka premikata, 
se premika tudi zelena, njuna vsota.

26
00:02:26,600 --> 00:02:31,600
Še bolj zanimivo je množenje točk.

27
00:02:33,590 --> 00:02:36,580
Poglejmo si recimo
množenje z -2.

28
00:02:36,900 --> 00:02:43,780
Točka 1 se preslika 
v točko -2, seveda.

29
00:02:44,560 --> 00:02:50,550
In če to ponovno množimo z -2, 
moramo narediti isto stvar:

30
00:02:50,560 --> 00:02:54,650
zamenjati stran glede na oglišče
in podvojiti razdaljo od izhodišča.

31
00:02:54,700 --> 00:02:57,530
Dobimo 4, seveda.

32
00:02:57,650 --> 00:03:05,630
Če množimo dvakrat z -2, 
smo množili s 4.

33
00:03:07,680 --> 00:03:10,650
Množenje z -1 je zares enostavno.

34
00:03:10,680 --> 00:03:16,650
Vsaka točka se preslika 
simetrično glede na izhodišče, 

35
00:03:16,720 --> 00:03:20,550
povedano drugače, naredili 
smo polkrožni zasuk, 

36
00:03:20,590 --> 00:03:24,580
ali vrtež za 180
stopinj, če želite.

37
00:03:24,600 --> 00:03:30,500
Ko pomnožimo število s samim seboj, 
je rezultat vedno pozitiven.

38
00:03:30,650 --> 00:03:34,650
Na primer, če množimo z -1, 
smo naredili polkrožni zasuk, 

39
00:03:34,780 --> 00:03:38,700
in če to ponovimo še enkrat, 
pridemo nazaj v začetni položaj!

40
00:03:38,780 --> 00:03:43,750
To pove, zakaj je 
-1 krat -1 enako +1.

41
00:03:44,530 --> 00:03:47,550
Preprosto!

42
00:03:47,650 --> 00:03:52,530
Poglejte na primer, da 
množenje z -1 pošlje 2 v -2, 

43
00:03:52,590 --> 00:03:55,500
in če to pomnožiš še 
enkrat z -1, dobiš nazaj 2.

44
00:03:55,620 --> 00:03:58,500
Očitno, mar ne?

45
00:03:58,630 --> 00:04:05,600
Torej, nobeno število pri množenju
s samim seboj ne da rezultata -1.

46
00:04:08,590 --> 00:04:12,580
Z drugimi besedami, število -1 
nima kvadratnega korena.

47
00:04:17,590 --> 00:04:23,480
Toda s tem zelo podcenjujemo 
smisel matematikov za nove iznajdbe!

48
00:04:23,600 --> 00:04:28,600
Na začetku 19. stoletja je imel 
Robert Argand zares odlično idejo.

49
00:04:28,630 --> 00:04:34,580
Rekel si je: "Če je množenje z -1
zasuk za 180 stopinj, 

50
00:04:34,630 --> 00:04:40,630
bo njegov kvadratni koren zasuk za 
polovico tega kota, torej 90 stopinj.

51
00:04:40,650 --> 00:04:43,650
Če namreč dvakrat zapored 
zasučem za četrt kroga, 

52
00:04:43,680 --> 00:04:45,650
dobim zasuk za pol kroga!

53
00:04:46,650 --> 00:04:52,650
Kvadrat zasuka za četrt je 
polkrožni zasuk, torej -1."

54
00:04:52,680 --> 00:04:55,600
Preprosto je, ko 
enkrat veš, kako! 

55
00:04:56,530 --> 00:05:00,530
Argand se je odločil, 
da naj kvadratni koren iz -1

56
00:05:00,560 --> 00:05:05,530
predstavlja točka, kjer se 
znajde 1 po zasuku za 90 stopinj.

57
00:05:05,560 --> 00:05:10,670
Toda to nas prisili, 
da zapustimo vodoravno premico, 

58
00:05:10,700 --> 00:05:17,530
in predstavimo iskano število
s točko, ki na njej ne leži!

59
00:05:18,590 --> 00:05:26,580
Ker je ta konstrukcija malo nenavadna, 
imenujemo kvadratni koren iz -1

60
00:05:26,700 --> 00:05:32,580
imaginarna enota in 
jo označimo z i.

61
00:05:32,600 --> 00:05:38,410
Ko zberemo pogum in zapustimo premico, 
je vse ostalo enostavno.

62
00:05:38,590 --> 00:05:41,580
Predstavimo lahko točke 
2i, 3i in tako naprej...

63
00:05:41,600 --> 00:05:45,580
Vsaka točka v ravnini predstavlja 
neko kompleksno število

64
00:05:45,600 --> 00:05:50,580
in obratno, vsako kompleksno število 
določa neko točko v ravnini.

65
00:05:52,560 --> 00:05:57,550
Točke v ravnini postanejo 
števila na svoj posebni način!

66
00:05:57,600 --> 00:06:01,600
Lahko jih seštevamo, 
tako kot običajna števila.

67
00:06:01,630 --> 00:06:06,600
Poglejte rdečo točko, torej 1+2i.

68
00:06:06,630 --> 00:06:13,530
Prištejmo ji modro točko 3+i.

69
00:06:14,590 --> 00:06:22,580
S seštevanjem kot v osnovni šoli
dobimo 4+3i.

70
00:06:23,600 --> 00:06:28,580
Geometrijsko je to 
ravno seštevanje vektorjev.

71
00:06:29,560 --> 00:06:36,530
Seštevanje kompleksnih števil 
nam torej ne dela problemov.

72
00:06:37,650 --> 00:06:43,650
Precej bolj zanimivo pa je, da 
lahko kompleksna števila tudi množimo,

73
00:06:43,680 --> 00:06:46,650
podobno kot množimo 
realna števila. Poglejmo.

74
00:06:47,700 --> 00:06:50,700
Kompleksno število že znamo
pomnožiti z 2, na primer.

75
00:06:50,720 --> 00:06:56,700
2 krat 1+i 
nam da 2+2i.

76
00:06:56,720 --> 00:06:59,580
Geometrijski pogled na 
množenje z 2 je preprost, 

77
00:06:59,600 --> 00:07:06,580
gre za razteg s faktorjem 2: če 
rdečo točko podvojimo, dobimo zeleno.

78
00:07:10,680 --> 00:07:17,570
Tudi množenje z i ni posebej zahtevno, 
saj ustreza zasuku za četrt kroga.

79
00:07:17,720 --> 00:07:25,700
Da bi množili 3+i in i, moramo 
3+i le zavrteti za četrt kroga.

80
00:07:25,600 --> 00:07:29,580
Dobimo -1+3i.

81
00:07:30,600 --> 00:07:36,600
Saj niso tako komplicirana, 
ta kompleksna števila! 

82
00:07:39,680 --> 00:07:45,670
Brez problemov lahko zmnožimo tudi 
dve kompleksni števili med seboj.

83
00:07:46,590 --> 00:07:53,580
Poskusimo na primer množiti 
2+1.5i in -1+2.4 i.

84
00:07:54,600 --> 00:08:03,480
Najprej množimo z 2, nato z 1.5 i, 
nato rezultate seštejemo.

85
00:08:03,600 --> 00:08:09,580
Tako dobimo: "2 krat..."

86
00:08:17,580 --> 00:08:25,550
Torej: -2 + 4.8 i - 1.5 i + 3.6 i²

87
00:08:25,720 --> 00:08:32,600
Toda i² je enak -1, saj smo 
i s tem namenom izumili!

88
00:08:34,700 --> 00:08:40,700
To nam da -2 -3.6 in tako dalje.

89
00:08:45,560 --> 00:08:54,530
Nekoliko počistimo in dobimo
-2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i, 

90
00:08:55,530 --> 00:09:03,750
torej -5.6 + 3.3 i.

91
00:09:07,700 --> 00:09:12,670
Tako, zdaj znate množiti 
kompleksna števila.

92
00:09:12,730 --> 00:09:17,720
Z drugimi besedami, 
množiti znate točke v ravnini!

93
00:09:17,750 --> 00:09:22,620
Navdušujoče! Menili smo, 
da je ravnina 2-razsežna, 

94
00:09:22,750 --> 00:09:27,630
ker smo potrebovali dve števili, 
da bi opisali položaj točke, 

95
00:09:27,680 --> 00:09:31,000
zdaj pa trdim, da 
zadošča ena sama točka!

96
00:09:31,680 --> 00:09:38,670
Seveda, zamenjali smo obseg števil
in zdaj delamo s kompleksnimi.

97
00:09:39,700 --> 00:09:46,670
To je priložnost za vpeljavo pojmov
modul in argument kompl. števila.

98
00:09:50,640 --> 00:09:54,600
Modul kompleksnega števila z
je razdalja od izhodišča do točke, 

99
00:09:54,740 --> 00:09:58,600
ki predstavlja število z 
v kompleksni ravnini.

100
00:10:00,640 --> 00:10:08,550
Določimo z ravnilom modul rdeče točke,
ki predstavlja število 2+1.5 i.

101
00:10:08,650 --> 00:10:14,650
Vidimo, da meri 2.5. Modul 
števila 2+1.5 i je torej 2.5.

102
00:10:14,680 --> 00:10:18,670
Za modro točko dobim 2.6.

103
00:10:18,680 --> 00:10:25,670
In za zeleno, ki je produkt 
dveh točk, dobim 6.5.

104
00:10:27,680 --> 00:10:30,670
Kaj je torej pravilo? Modul 
produkta dveh kompleksnih števil

105
00:10:30,700 --> 00:10:34,670
je natanko produkt 
modulov teh dveh števil.

106
00:10:50,640 --> 00:10:56,530
Argument kompleksnega števila
je kot, izmerjen med abscisno osjo 

107
00:10:56,680 --> 00:10:59,630
in premico, ki točko 
povezuje z izhodiščem.

108
00:10:59,650 --> 00:11:04,670
Argument rdečega kompleksnega števila
je na primer enak 36.8 stopinj.

109
00:11:05,530 --> 00:11:08,750
Argument za modro točko 
je enak 112.6 stopinj.

110
00:11:09,530 --> 00:11:14,580
In za produkt, zeleno točko, 
dobimo 149.4 stopinj.

111
00:11:14,600 --> 00:11:19,580
To je ravno vsota argumentov 
dveh prvotnih števil...

112
00:11:27,650 --> 00:11:36,720
Pri množenju dveh števil se modula 
pomnožita, argumenta pa seštejeta.

113
00:11:45,650 --> 00:11:52,630
Prvo srečanje s kompleksnimi števili
zaključimo s stereografsko projekcijo.

114
00:11:53,640 --> 00:11:58,600
Poglejmo si sfero, tangentno 
na tablo v izhodišču.

115
00:12:00,680 --> 00:12:06,670
Z uporabo stereografske projekcije
vsaka točka na tabli, 

116
00:12:06,700 --> 00:12:12,670
torej, vsako kompleksno število, 
ustreza neki točki na sferi.

117
00:12:12,700 --> 00:12:18,670
Edino severni pol sfere, 
iz katerega sem projiciral, 

118
00:12:18,700 --> 00:12:25,580
ne ustreza nobenemu kompleksnemu številu
in rečemo, da ustreza neskončnosti.

119
00:12:26,700 --> 00:12:31,600
Matematiki tudi rečemo, da je sfera
kompleksna projektivna premica.

120
00:12:32,700 --> 00:12:34,670
Zakaj premica?

121
00:12:34,720 --> 00:12:37,700
Ker lahko lego njenih točk 
opišemo z enim samim številom.

122
00:12:37,720 --> 00:12:39,700
Zakaj kompleksna?

123
00:12:39,720 --> 00:12:43,700
Ker je to število kompleksno.

124
00:12:43,720 --> 00:12:45,700
Zakaj projektivna?

125
00:12:45,720 --> 00:12:49,530
Ker smo z uporabo projekcije
dodali točko v neskončnosti.

126
00:12:49,580 --> 00:12:56,580
Mar niso matematiki čudni, ko 
trdijo, da je sfera isto kot premica?