1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Kompleksna števila ...
Nadaljevanje

2
00:00:07,540 --> 00:00:11,530
Pokazal vam bom nekaj preoblikovanj 
oziroma transformacij.

3
00:00:12,550 --> 00:00:16,530
Če vam je prav, bomo 
preoblikovali moj portret.

4
00:00:20,560 --> 00:00:25,450
Začnimo z nečim enostavnim -
preslikavo, ki število z preslika v z/2.

5
00:00:25,560 --> 00:00:28,560
Vsaka točka na fotografiji 
ustreza kompleksnemu številu z,

6
00:00:28,570 --> 00:00:30,550
ki ga delimo z 2, da dobimo 
sliko začetne točke

7
00:00:34,540 --> 00:00:39,440
in tako sestavimo novo 
grafiko. Ni presenetljivo,

8
00:00:39,540 --> 00:00:44,530
da sem se skrčil na polovico,
saj smo vsako število delili z 2!

9
00:00:45,460 --> 00:00:50,550
Taka transformacija se 
imenuje razteg ali dilacija.

10
00:00:53,540 --> 00:00:57,590
Kaj pa množenje z i?
Preprosto!

11
00:00:57,640 --> 00:01:03,590
Vemo, da je množenje z i
zasuk za četrt kroga.

12
00:01:04,530 --> 00:01:10,580
Pri tem se modul ne spremeni,
argument pa se poveča za 90 stopinj.

13
00:01:11,550 --> 00:01:18,540
A to je zgolj poseben način, da povemo, 
da smo sliko samo zavrteli.

14
00:01:28,550 --> 00:01:35,550
No, malce bolj zapleteno
je množenje z 1+i.

15
00:01:37,540 --> 00:01:42,590
Poglejte kompleksno število 1+i, ki 
ustreza točki z absciso 1 in ordinato 1.

16
00:01:43,540 --> 00:01:49,490
Njegov argument je 45 stopinj,
modul pa kvadratni koren iz 2,

17
00:01:49,540 --> 00:01:54,490
po Pitagorovem izreku.
Torej, množenje z 1+i

18
00:01:54,590 --> 00:02:01,580
ustreza množenju modula s korenom iz 2
in prištetju 45 stopinj k argumentu.

19
00:02:02,540 --> 00:02:08,530
S preprostimi besedami:
sestavili smo razteg in zasuk.

20
00:02:08,540 --> 00:02:13,530
Temu se reče podobnostna 
transformacija.

21
00:02:20,590 --> 00:02:26,580
Še bolj zanimivo: preslikajmo 
točke v njihove kvadrate.

22
00:02:27,590 --> 00:02:30,580
Število z naj gre v z².

23
00:02:30,690 --> 00:02:38,480
Za začetek postavimo fotografijo
tik ob koordinatni osi.

24
00:02:38,590 --> 00:02:44,480
Potem vse skupaj malo približajmo,
saj kvadriranje spremeni velikost

25
00:02:44,580 --> 00:02:48,570
in potrebujemo dovolj 
prostora za prikaz slike.

26
00:02:49,540 --> 00:02:52,590
Zdaj postopoma 
preoblikujemo fotografijo.

27
00:02:53,540 --> 00:02:59,430
Opazimo, da je argument števila z²
enak dvakratniku argumenta od z,

28
00:02:59,540 --> 00:03:03,530
zato se pravi kot na spodnji 
levi strani fotografije

29
00:03:03,540 --> 00:03:09,430
pri tej preslikavi podvoji in
postane iztegnjeni kot: 180 stopinj.

30
00:03:09,540 --> 00:03:16,530
Postavimo fotografijo še nekam drugam
in zopet opazujmo kvadriranje.

31
00:03:16,630 --> 00:03:20,530
Spet lahko vidimo 
podvojitev argumenta.

32
00:03:20,540 --> 00:03:23,450
Glejte recimo moj mezinec.

33
00:03:23,540 --> 00:03:27,530
Pred transformacijo je njegov 
argument približno 45 stopinj,

34
00:03:29,540 --> 00:03:33,530
po transformaciji pa kaže 
navpično, na 90 stopinj.

35
00:03:33,540 --> 00:03:38,530
Seveda vidimo tudi, 
da se moduli kvadrirajo.

36
00:03:54,550 --> 00:04:02,540
Oglejmo si še novo transformacijo,
ki pošlje število z v -1/z.

37
00:04:02,550 --> 00:04:08,540
Ne pozabite, kompleksna števila 
lahko med seboj seštevamo, množimo 

38
00:04:08,650 --> 00:04:12,540
in tudi delimo, razen 
z ničlo, seveda.

39
00:04:13,550 --> 00:04:17,550
Ali vas ta podoba spominja 
na Sikstinsko kapelo?

40
00:04:18,550 --> 00:04:28,550
Obrati števil z velikim modulom
so števila z majhnim in obratno.

41
00:04:30,620 --> 00:04:35,450
Tukaj je podobna preslikava.
Poglejte formulo.

42
00:04:35,560 --> 00:04:38,550
Vrednost parametra k 
se počasi spreminja.

43
00:04:38,560 --> 00:04:43,550
Nekateri deli se pri tem 
raztegujejo, drugi krčijo, 

44
00:04:44,570 --> 00:04:50,530
a če opazujete pozorno, se 
oblika ohranja, dolžine pa ne.

45
00:04:52,540 --> 00:04:56,530
Krožnica ostane okrogla, 
četudi morda raste:

46
00:04:56,550 --> 00:04:59,540
moja roka je zrasla, 
obraz se je pomanjšal,

47
00:04:59,550 --> 00:05:05,540
a še vedno me 
lahko prepoznate!

48
00:05:11,540 --> 00:05:16,590
Še ena, bolj poglobljena 
transformacija.

49
00:05:22,540 --> 00:05:26,590
No, to ni ravno 
shujševalna kura zame.

50
00:05:28,540 --> 00:05:34,530
A čeprav sem se povečal, se 
oblika majhnih delov ni spremenila.

51
00:05:35,540 --> 00:05:40,530
Gumb na moji srajci, na primer,
ohranja krožno obliko.

52
00:05:41,540 --> 00:05:47,530
Take preslikave imenujemo 
konformne ali holomorfne.

53
00:05:47,540 --> 00:05:52,540
Ta latinska in grška beseda povesta, 
da preslikava ohranja obliko!

54
00:05:52,570 --> 00:05:56,460
Prav zares lahko s kompleksnimi 
števili počnemo zelo veliko stvari.

55
00:05:56,570 --> 00:06:00,500
Naredimo lahko celo eksponentno 
funkcijo, če vemo, kaj to pomeni!

56
00:06:00,570 --> 00:06:05,500
Četudi tega ne veste, pa lahko vidite, 
glavobole, ki mi jih povzroča!

57
00:06:05,570 --> 00:06:09,560
Je moja glava 
izginila? Ne!

58
00:06:09,570 --> 00:06:14,560
Če bi pogledali skozi mikroskop, bi 
blizu izhodišča videli mojo brado.

59
00:06:15,570 --> 00:06:22,460
Zdaj, ko poznate kompleksna števila
in ste videli nekaj transformacij,

60
00:06:22,570 --> 00:06:27,540
vam bom razložil nekaj 
objektov, ki jih preučujem.

61
00:06:27,550 --> 00:06:30,560
Tukaj vidite več točk.

62
00:06:30,570 --> 00:06:34,560
Nekatere so modre in ležijo 
znotraj enotskega diska,

63
00:06:34,570 --> 00:06:37,560
druge so rumene in 
ležijo na zunanji strani.

64
00:06:37,570 --> 00:06:44,540
Preslikajmo jih s preslikavo z² 
večkrat zapored in si oglejmo rezultat.

65
00:06:45,560 --> 00:06:49,550
Vidimo lahko, da modre točke 
ostanejo znotraj diska,

66
00:06:49,570 --> 00:06:55,550
medtem ko rumene ubežijo ven iz 
diska in celo dol z našega zaslona.

67
00:07:00,530 --> 00:07:08,580
Rečemo, da je modri disk napolnjena 
Juliajeva množica transformacije z².

68
00:07:08,590 --> 00:07:12,580
Točke zunaj te množice 
ubežijo v neskončnost, 

69
00:07:12,590 --> 00:07:16,580
če transformacijo 
neskončnokrat ponovimo.

70
00:07:17,550 --> 00:07:20,540
Tako se lahko igramo tudi 
z drugimi transformacijami,

71
00:07:20,550 --> 00:07:28,540
na primer z²+c, kjer je 
c poljubno kompleksno število.

72
00:07:29,540 --> 00:07:33,590
Za vsako kompleksno število c 
dobimo Juliajevo množico,

73
00:07:34,540 --> 00:07:37,590
katere oblika se 
spreminja z vrednostjo c.

74
00:07:38,540 --> 00:07:43,590
Tukaj vidite nekaj primerov.

75
00:08:10,540 --> 00:08:15,590
Tegale imenujem Zajec.

76
00:08:53,540 --> 00:08:56,490
Da boste laže razumeli, 
kako se oblike spreminjajo,

77
00:08:56,540 --> 00:08:58,590
vam bom vzporedno 
pokazal več stvari.

78
00:08:59,540 --> 00:09:03,590
Na levi, rdeči strani, 
lahko vidite točko, 

79
00:09:03,640 --> 00:09:07,590
ki se bo začela gibati:
to je točka c.

80
00:09:08,540 --> 00:09:11,530
Na desni strani vidite 
ustrezno Juliajevo množico:

81
00:09:11,550 --> 00:09:15,530
ta se preoblikuje, ko 
se vrednost c spreminja.

82
00:09:16,540 --> 00:09:21,530
Toda pri nekaterih vrednostih c 
se zazdi, da množica izgine.

83
00:09:21,570 --> 00:09:26,530
Na zaslonu ne vidimo ničesar 
več, kot na primer zdaj.

84
00:09:26,540 --> 00:09:32,430
V resnici je Juliajeva množica
razpadla na neskončno koščkov,

85
00:09:32,550 --> 00:09:35,530
ki so tako majhni, da na 
ekranu ni videti ničesar.

86
00:09:35,540 --> 00:09:40,530
Benoit Mandelbrot, ki je 
populariziral fraktalne množice,

87
00:09:40,540 --> 00:09:43,530
je predlagal študij 
množice, narisane z rdečo.

88
00:09:43,540 --> 00:09:49,530
Ta predstavlja vrednosti c, 
za katere Juliajevo množico

89
00:09:49,540 --> 00:09:53,530
vidimo na zaslonu, 
torej vrednosti, 

90
00:09:53,640 --> 00:09:58,530
za katere Juliajeva množica
ne razpade na številne koščke.

91
00:09:59,530 --> 00:10:03,440
Ta rdeča množica se imenuje
Mandelbrotova množica

92
00:10:03,550 --> 00:10:06,530
in sam sem porabil precej 
časa za njeno proučevanje.

93
00:10:06,540 --> 00:10:12,430
Za konec si še enkrat oglejmo 
Mandelbrotovo množico zelo od blizu,

94
00:10:12,540 --> 00:10:15,530
in si jo še približajmo, da bomo 
lahko občudovali njeno lepoto...

95
00:10:19,540 --> 00:10:24,530
Gremo, tukaj je. 
Občudujmo...

96
00:10:25,540 --> 00:10:28,490
Ne bom vsega 
natanko pojasnjeval.

97
00:10:28,540 --> 00:10:32,460
Predstavljajte si 
Mandelbrotovo množico 

98
00:10:32,560 --> 00:10:37,560
kot otok, obdan s tropskim oceanom,
v katerem lahko vidite vse do dna.

99
00:10:46,540 --> 00:10:52,500
Zares, vidite lahko vse
resnično mikroskopske podrobnosti...

100
00:10:52,540 --> 00:10:56,530
Če bi bila Mandelbrotova množica 
velikosti nogometnega igrišča,

101
00:10:56,550 --> 00:11:00,530
bi zdaj gledali podrobnosti, 
velike kot posamezni atom,

102
00:11:00,540 --> 00:11:03,530
velikostnega reda 
milijoninke milimetra!

103
00:12:14,550 --> 00:12:18,530
Morda se sprašujete, zakaj 
sem se začel zanimati za to?

104
00:12:18,570 --> 00:12:21,560
Najprej zato, ker se 
mi zdi to čudovito

105
00:12:21,570 --> 00:12:26,500
in ker mi razumevanje teh objektov
daje veliko zadovoljstva.

106
00:12:26,570 --> 00:12:29,550
Zame je to dovolj dober razlog, 
da posvečam čas tem vprašanjem.

107
00:12:29,560 --> 00:12:37,540
Vendar pa lahko v teh transformacijah
navkljub njihovi preprostosti

108
00:12:37,550 --> 00:12:43,540
najdemo bistvo kaosa, osnovnega 
koncepta sodobne znanosti.

109
00:12:43,550 --> 00:12:46,530
Preproste stvari porajajo 
bogate strukture.

110
00:12:46,540 --> 00:12:52,540
Študirati zapletene fenomene skozi
njihovo najpreprostejše utelesenje,

111
00:12:52,560 --> 00:12:55,550
prav to je pogosto 
vloga matematikov.