1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Vlaknenje

2
00:00:09,540 --> 00:00:15,700
Krožnice v prostoru, urejene 
v čudovite ornamente.

3
00:00:17,560 --> 00:00:23,550
Da bi bolje razumeli 3-razsežno 
sfero v 4-razsežnem prostoru,

4
00:00:23,590 --> 00:00:28,580
vam bom pokazal, kako 
prostor napolnimo s krožnicami

5
00:00:28,590 --> 00:00:33,600
in ustvarimo nekaj, kar 
matematiki imenujejo vlaknenje.

6
00:00:34,540 --> 00:00:39,640
Mimogrede, moje ime je Heinz Hopf,
in bil sem ena vodilnih osebnosti 

7
00:00:39,660 --> 00:00:44,530
pri razvoju topologije v prvi 
polovici dvajsetega stoletja.

8
00:00:46,580 --> 00:00:55,580
Poglejte ta torus, pokrit s 
krožnicami, ki so videti povezane.

9
00:00:55,600 --> 00:00:59,200
Naj vam razložim to sliko.

10
00:00:59,600 --> 00:01:04,600
Krožnice, sfere in torusi so 
med najpreprostejšimi objekti,

11
00:01:04,610 --> 00:01:07,600
ki jih študirajo topologi.

12
00:01:08,600 --> 00:01:11,600
Topolog poskuša razumeti 
odnose med njimi.

13
00:01:13,600 --> 00:01:17,600
Delal sem v Berlinu, 
Princetonu in Zurichu

14
00:01:17,640 --> 00:01:20,600
in še danes v sodobni matematiki 
pogosto naletite na moje ime:

15
00:01:20,610 --> 00:01:29,600
Poincaré-Hopfov izrek, Hopfova invarianta, 
Hopfova algebra, Hopfovo vlaknenje.

16
00:01:34,540 --> 00:01:37,530
Naj vam sam naslikam 
svoj portret.

17
00:01:37,540 --> 00:01:43,530
Odkritje svojega vlaknenja 
sem objavil leta 1931.

18
00:01:48,600 --> 00:01:52,600
A treba je povedati, 
da je moje delo slonelo

19
00:01:52,610 --> 00:01:56,600
na številnih predhodnikih, 
na primer Cliffordu,

20
00:01:56,630 --> 00:01:59,630
ki ga vidite tukaj, in je delal 
v Angliji v 19. stoletju.

21
00:02:12,580 --> 00:02:17,580
Začnimo z razlagami 
na beli tabli.

22
00:02:17,590 --> 00:02:22,480
Kaj vidite?
2-razsežno ravnino?

23
00:02:22,590 --> 00:02:28,580
Da in ne! To je ravnina
s kompleksno dimenzijo 2,

24
00:02:28,700 --> 00:02:33,650
torej ima realno dimenzijo 4.
Poskusite to dojeti! 

25
00:02:33,680 --> 00:02:37,670
Vsaka točka v tej ravnini je 
določena z dvema koordinatama,

26
00:02:37,680 --> 00:02:45,470
ki pa sta kompleksni števili, torej
vsako predstavlja par realnih števil...

27
00:02:45,560 --> 00:02:51,530
Vsaka od osi je 
kompleksna premica

28
00:02:51,640 --> 00:02:55,630
in vsaka točka na osi ima koordinato,
ki je kompleksno število.

29
00:02:56,540 --> 00:03:02,530
Poglejte na primer
točko 2-i na prvi osi.

30
00:03:13,540 --> 00:03:16,530
Isto velja tudi 
za drugo os, os y.

31
00:03:16,540 --> 00:03:21,530
Tukaj vidimo točko 
1-2i na tej osi.

32
00:03:26,540 --> 00:03:32,650
Naša tabla je sicer čarobna, a vseeno
ne zmore hkrati pokazati obeh ravnin!

33
00:03:32,560 --> 00:03:38,700
Narisani v 3-razsežnem prostoru 
se bosta sekali vzdolž premice,

34
00:03:38,710 --> 00:03:46,550
v 4-razsežnem pa se sekata le v 
izhodišču — saj gre vendar za osi!

35
00:03:48,560 --> 00:03:54,550
Kaj torej zdaj vidite?
Krožnico?  Da in ne!

36
00:03:54,560 --> 00:03:59,550
To, kar vidite, oziroma, kar 
bi si morali predstavljati,

37
00:03:59,560 --> 00:04:05,550
je množica točk v 4-razsežnem prostoru,
ki so od izhodišča oddaljene za 1.

38
00:04:05,600 --> 00:04:09,550
Z drugimi besedami, 
to je 3-sfera S³.

39
00:04:10,540 --> 00:04:15,750
Seveda pa potrebujete 
malo domišljije...

40
00:04:20,580 --> 00:04:25,720
Poskusimo si ogledati vsaj to, 
kako ta sfera seka prvo os.

41
00:04:28,540 --> 00:04:36,530
3-sfera preseka prvo os v množici točk,
ki so za 1 oddaljene od izhodišča.

42
00:04:46,540 --> 00:04:50,530
3-sfera torej preseka 
prvo os v krožnici.

43
00:04:54,560 --> 00:05:03,550
Isto velja za drugo os: presek 
je krožnica, obarvana modro.

44
00:05:07,580 --> 00:05:16,580
Podobna ugotovitev velja tudi 
za vse premice skozi izhodišče.

45
00:05:28,750 --> 00:05:33,750
Tukaj vidite premico 
z enačbo z2 = -2 z1,

46
00:05:33,760 --> 00:05:39,990
a isto bi lahko naredili 
s premico z2 = a z1

47
00:05:40,100 --> 00:05:44,530
za katerokoli 
kompleksno število a.

48
00:05:44,620 --> 00:05:52,500
3-sfera v 4-razsežnem prostoru 
je tako napolnjena s krožnicami:

49
00:05:52,540 --> 00:05:58,530
po eno za vsako premico skozi izhodišče 
v dvorazsežni kompleksni ravnini.

50
00:05:58,540 --> 00:06:03,530
A pazljivo! Na sliki se zdi, da se 
rdeče krožnice sekajo med seboj,

51
00:06:03,550 --> 00:06:09,530
kar v 4-razsežni resničnosti ne drži.
Premice se sekajo le v izhodišču

52
00:06:09,540 --> 00:06:14,530
in njihovi preseki z enotsko sfero 
se med seboj v resnici ne sekajo.

53
00:06:14,540 --> 00:06:17,530
Jaz sem tisti, ki je odkril 
nekaj zelo zanimivih stvari

54
00:06:17,540 --> 00:06:20,530
o takem razstavljanju 
3-sfere na krožnice

55
00:06:20,540 --> 00:06:24,530
in odtlej je znano pod 
imenom Hopfovo vlaknenje.

56
00:06:24,540 --> 00:06:29,530
Zakaj vlaknenje? Morali bi si 
predstavljati vlakna blaga...

57
00:06:29,540 --> 00:06:33,550
Vse to si bomo ogledali z 
uporabo stereografske projekcije.

58
00:06:33,560 --> 00:06:37,670
Predstavljajte si, da 3-sfero 
projiciramo iz severnega pola

59
00:06:37,680 --> 00:06:42,670
na tangentni prostor v južnem - 
to je naš 3-razsežni prostor.

60
00:06:42,680 --> 00:06:47,670
Tukaj je projekcija na eno 
izmed krožnic. Videli smo,

61
00:06:47,680 --> 00:06:51,360
da krožnice predstavljajo presek 
kompleksne premice in 3-sfere.

62
00:06:51,540 --> 00:06:56,650
Takih krožnic je veliko: ena za vsako 
kompleksno premico skozi izhodišče.

63
00:06:58,560 --> 00:07:05,450
Za vsak a lahko obravnavamo premico 
z2 = a z1 in njej pripadajočo krožnico.

64
00:07:05,560 --> 00:07:08,750
Spreminjajmo vrednost a, 
ali, povedano drugače,

65
00:07:08,760 --> 00:07:15,450
vrtimo to premico in opazujmo, 
kako se s tem spreminja krožnica.

66
00:07:15,540 --> 00:07:18,530
Včasih se nam krožnica 
zazdi kot ravna črta,

67
00:07:18,540 --> 00:07:22,530
a zgolj zato, ker poteka 
skozi severni pol naše 3-sfere.

68
00:07:29,560 --> 00:07:32,580
Poglejmo si še dve 
taki krožnici hkrati.

69
00:07:32,600 --> 00:07:38,530
V spodnjem levem kotu sta dve 
kompleksni točki, rdeča in zelena.

70
00:07:40,560 --> 00:07:47,550
Vidite lahko krožnici,
ki pripadata tema točkama.

71
00:07:47,650 --> 00:07:53,650
Krožnici sta povezani med 
seboj kot dva člena verige:

72
00:07:53,730 --> 00:07:56,720
ne moremu ju ločiti, 
ne da bi ju pretrgali.

73
00:08:05,650 --> 00:08:15,650
Za zabavo si oglejmo še tri krožnice.
Glejte, kako plešejo skupaj!

74
00:08:50,580 --> 00:08:55,580
Zdaj vzemimo več kompleksnih 
krožnic, izbranih naključno,

75
00:08:55,590 --> 00:09:03,580
in si jih oglejmo 
vse naenkrat.

76
00:09:08,540 --> 00:09:10,530
Krožnice napolnijo prostor
in noben par se ne seka:

77
00:09:14,650 --> 00:09:21,650
to je primer vlaknenja.

78
00:10:04,540 --> 00:10:10,530
Vlaknenje bomo bolje razumeli,
če se za hip vrnemo k tabli.

79
00:10:10,540 --> 00:10:13,530
Vsaki premici pripada 
Hopfova krožnica.

80
00:10:14,540 --> 00:10:21,670
Vsaka premica ima enačbo z2 = a z1, 
kjer je a naklon premice,

81
00:10:21,680 --> 00:10:28,530
rdeče označeno kompleksno število,
ki se pomika po zeleni premici.

82
00:10:28,540 --> 00:10:35,450
Navpična os res ne ustreza taki enačbi,
a smemo reči, da je tedaj a neskončen.

83
00:10:35,540 --> 00:10:38,550
Ne pozabite, a je 
kompleksno število.

84
00:10:38,560 --> 00:10:45,530
Tudi zelena premica je kompleksna, 
torej ustreza realni ravnini.

85
00:10:47,540 --> 00:10:54,650
Povzemimo: naše kompleksne premice so 
določene s točko na zeleni ravnini

86
00:10:54,660 --> 00:10:59,650
in dodatno točko 
v neskončnosti.

87
00:11:16,720 --> 00:11:19,720
A že prej smo videli, da 
z dodajanjem točke neskončno 

88
00:11:19,730 --> 00:11:24,720
h kompleksni premici 
dobimo običajno 2-sfero.

89
00:11:25,540 --> 00:11:30,530
Zopet je to stereografska projekcija.

90
00:11:40,600 --> 00:11:43,600
Naše kompleksne premice 
so torej parametrizirane

91
00:11:45,610 --> 00:11:50,600
s točkami na rumeni
2-razsežni sferi S².

92
00:11:56,600 --> 00:12:00,630
Imamo torej krožnico za 
vsako točko na 2-sferi.

93
00:12:00,640 --> 00:12:06,550
Toda krožnica je vendar 
1-razsežna sfera, mar ne?

94
00:12:06,580 --> 00:12:09,580
Vse te krožnice povsem 
napolnijo 3-sfero.

95
00:12:09,590 --> 00:12:13,720
Vsaka točka na 3-sferi 
pripada natanko eni krožnici

96
00:12:13,730 --> 00:12:19,720
in s tem natanko določi 
točko na 2-sferi.

97
00:12:21,630 --> 00:12:28,630
Tako dobimo projekcijo
iz 3-sfere na 2-sfero.

98
00:12:28,650 --> 00:12:31,650
Zamotano, mar ne?

99
00:12:31,720 --> 00:12:36,550
Matematiki rečejo, da nad 
vsako točko iz baze S²

100
00:12:36,560 --> 00:12:39,550
obstaja vlakno, 
enako krožnici S¹,

101
00:12:39,580 --> 00:12:45,580
in da je sfera S³ totalni
prostor tega vlaknenja.

102
00:12:47,600 --> 00:12:52,600
Zelo sem ponosen 
na svoje vlaknenje,

103
00:12:52,610 --> 00:12:58,580
saj je postalo eden od 
temeljnih objektov v topologiji!