1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Vlaknenje ...
Nadaljevanje

1
00:00:10,540 --> 00:00:13,670
Vrnimo se k 2-razsežni sferi
in njenim vzporednikom.

2
00:00:13,710 --> 00:00:19,450
Nad vsako točko 2-razsežne sfere
si predstavljajmo Hopfovo krožnico.

4
00:00:19,540 --> 00:00:26,470
Poglejmo, kaj dobimo 
nad ekvatorjem...

6
00:00:26,590 --> 00:00:31,450
Tole pa dobimo nad vzporednikom,
ko se pomikamo proti jugu.

8
00:00:31,540 --> 00:00:35,530
Zakaj se zdi, da 
se torus tanjša?

9
00:00:35,660 --> 00:00:42,530
Zato, ker imamo nad južnim 
polom le eno krožnico.

11
00:01:13,590 --> 00:01:18,630
Nad severnim polom pa 
vidite ravno premico 

12
00:01:18,640 --> 00:01:25,650
oziroma krožnico, ki vsebuje 
neskončnost: to je rdeča premica.

13
00:02:02,540 --> 00:02:07,530
Zdaj vse to malo 
zavrtimo naokrog.

14
00:02:07,610 --> 00:02:16,530
Zasuki, da, toda zasuki
v 4-razsežnem prostoru.

16
00:03:08,600 --> 00:03:15,600
Iskreno povedano: nekatere teh slik 
so poznali že davno pred menoj.

18
00:03:15,610 --> 00:03:18,600
Odkritje štirih družin 
krožnic na torusu

19
00:03:18,610 --> 00:03:21,600
se običajno pripisuje 
Markizu de Villarceau,

20
00:03:21,610 --> 00:03:25,580
a še zgodnejše zametke 
te ideje najdemo 

25
00:03:25,610 --> 00:03:32,580
na primer v skulpturi iz
katedrale v Strasbourgu.


22
00:03:47,610 --> 00:03:53,650
Vzemimo torus revolucije: 
to ploskev opiše krožnica

24
00:03:53,590 --> 00:03:59,650
pri vrtenju okrog 
osi v svoji ravnini.

25
00:04:24,590 --> 00:04:32,550
Poglejte prerez torusa 
s pazljivo izbrano ravnino.

27
00:04:32,590 --> 00:04:42,530
Ta ravnina je bitangentna na torus,
saj je nanj tangentna v dveh točkah.

29
00:05:21,590 --> 00:05:29,450
Opazite lahko, da ta ravnina 
prereže torus vzdolž dveh krožnic.

31
00:05:29,540 --> 00:05:33,530
To se imenuje
Villarceaujev izrek.

31
00:05:33,540 --> 00:05:38,530
Bitangentna ravnina prereže
torus vzdolž dveh krožnic.

33
00:06:27,540 --> 00:06:31,530
Seveda pa bitangentna 
ravnina ni ena sama.

34
00:06:31,540 --> 00:06:41,530
Tukaj je še ena, ki nam da dve 
drugi Villarceaujevi krožnici.

35
00:06:55,600 --> 00:07:06,600
Isto velja za vse bitangentne ravnine,
moramo se le vrteti okrog osi simetrije.

37
00:07:15,640 --> 00:07:21,530
Skozi vsako točko na torusu
lahko narišemo štiri krožnice,

39
00:07:21,540 --> 00:07:26,530
dobljene s primernimi prerezi.

40
00:07:28,580 --> 00:07:37,580
Ena od teh krožnic je 
vzporednik, druga poldnevnik,

42
00:07:38,660 --> 00:07:47,530
potem pa še prva in druga
Villarceaujeva krožnica.

44
00:07:54,710 --> 00:08:02,580
Tako se prepričamo, da je torus 
pokrit s štirimi družinami krožnic.

46
00:08:04,540 --> 00:08:07,530
Dve krožnici iz iste 
družine se ne sekata.

47
00:08:07,540 --> 00:08:11,580
Modra krožnica seka 
rdečo v eni točki.

48
00:08:13,560 --> 00:08:23,530
Rumena in bela se sekata v dveh:
to sta Villarceaujevi krožnici.

50
00:08:38,720 --> 00:08:44,750
Dobro si oglejte rumene krožnice:
to so Hopfove krožnice!

52
00:08:44,760 --> 00:08:49,750
Se še spomnite, kaj smo videli
nad vzporednikom v vlaknenju?

54
00:08:50,710 --> 00:08:53,750
Videli smo torus, pokrit 
s prepletenimi krožnicami,

55
00:08:53,760 --> 00:08:59,750
tako kot je tale pokrit 
z rumenimi krožnicami.

56
00:09:01,540 --> 00:09:04,530
Kaj pa je z 
belimi krožnicami?

57
00:09:04,540 --> 00:09:09,530
Te predstavljajo vlakna še 
enega Hopfovega vlaknenja,

58
00:09:09,560 --> 00:09:15,550
ki je zrcalna slika prvega.

59
00:09:41,540 --> 00:09:48,530
Za konec sprehoda si izberimo torus
s svojimi štirimi družinami krožnic.

62
00:09:48,760 --> 00:09:53,530
Predstavljajmo si, da ga vrtimo
znotraj 3-razsežne sfere

64
00:09:53,620 --> 00:09:59,540
in nato stereografsko projiciramo
v 3-razsežni prostor.

66
00:09:59,550 --> 00:10:05,540
Na ta način dobimo ploskve,
pokrite s štirimi družinami krožnic,

68
00:10:05,550 --> 00:10:10,540
to so takoimenovane
Dupinove ciklide.

69
00:10:29,550 --> 00:10:38,540
Če torus poteka skozi projekcijski pol,
ploskev postane neskončna.

71
00:10:46,580 --> 00:10:51,540
V tem gibanju lahko dve 
strani celo zamenjamo.

72
00:10:54,580 --> 00:10:59,550
Notranja stran torusa je 
rožnata in zunanja zelena.

73
00:11:27,550 --> 00:11:31,540
Preprost zasuk v četrti 
dimenziji in … Zadetek!

74
00:11:31,560 --> 00:11:36,550
Zelena postane 
rožnata in obratno.

75
00:11:37,560 --> 00:11:44,550
Mar ni to veličastno?