1
00:00:03,000 --> 00:00:07,000
Dokaz

1
00:00:13,540 --> 00:00:19,530
Delati matematiko pomeni 
predvsem dokazovati, kar trdimo.

3
00:00:19,550 --> 00:00:24,520
Videli smo, da stereografska 
projekcija preslika krožnice na sferi,

4
00:00:24,540 --> 00:00:29,530
ki ne vsebujejo pola,
v krožnice na ravnini.

8
00:00:29,540 --> 00:00:32,530
In zdaj bomo to dokazali.

9
00:00:33,650 --> 00:00:36,650
Čeprav je to znano 
že več stoletij,

10
00:00:36,660 --> 00:00:42,650
vam bom jaz, Bernhard Riemann,
sam predstavil ta dokaz.

12
00:00:42,660 --> 00:00:48,450
Pogosto sem počaščen, da danes 
govorijo o Riemannovi sferi.

14
00:00:48,550 --> 00:00:51,530
Dokazati pomeni veliko 
več kot pokazati.

15
00:00:52,540 --> 00:00:58,530
Ni dovolj, da je v filmu neka 
krivulja videti kot krožnica,

17
00:00:58,540 --> 00:01:04,530
da bi smeli to 
zares verjeti.

18
00:01:04,540 --> 00:01:09,530
Matematični dokaz mora 
uporabljati logično sklepanje, 

19
00:01:09,540 --> 00:01:14,530
da bo prepričljivo razložil,
zakaj je to krožnica.

21
00:01:14,540 --> 00:01:22,530
Veliki Evklid je 
300 let pred Kristusom

21
00:01:18,540 --> 00:01:25,530
zapisal pravila matematične 
igre v svoji knjigi Elementi.

25
00:01:26,540 --> 00:01:33,530
Dokaz mora temeljiti na dejstvih, 
ki so prav tako dokazana.

27
00:01:33,540 --> 00:01:39,530
Toda, z nečim je potrebno 
začeti, zato je treba 

27
00:01:39,540 --> 00:01:44,530
nekatere trditve sprejeti brez 
dokaza. Te imenujemo aksiomi.

30
00:01:44,540 --> 00:01:49,530
Tako se matematika pojavi kot
gigantska konstrukcija,

32
00:01:49,560 --> 00:01:55,530
katere temelji so aksiomi, vsaka 
nova opeka pa stoji na že postavljenih.

34
00:01:55,750 --> 00:02:00,630
Da bi dokazali izrek o 
stereografski projekciji krožnic,

35
00:02:00,640 --> 00:02:03,670
bi morali načeloma 
začeti pri aksiomih!

36
00:02:04,550 --> 00:02:08,530
Seveda zdaj za to ni časa.
Privzeli bomo, da že poznamo

37
00:02:08,540 --> 00:02:12,530
nekatere geometrijske 
izreke iz srednje šole

39
00:02:12,540 --> 00:02:18,550
in z njimi bomo 
dokazali ta izrek.

40
00:02:27,680 --> 00:02:34,670
Začnimo z nečim preprostim:
presekom sfere in ravnine.

42
00:02:35,680 --> 00:02:42,670
Če ravnina prereže sfero 
in nanjo ni tangentna,

44
00:02:42,680 --> 00:02:45,670
potem je presek krožnica.

45
00:02:45,680 --> 00:02:50,580
Lahko jo vidimo, 
a zakaj to velja?

46
00:02:50,680 --> 00:02:55,680
Kako to dokažemo?

48
00:02:57,570 --> 00:03:02,550
Oglejmo si poljubno 
ravnino, obarvano modro.

49
00:03:04,550 --> 00:03:13,530
Narišimo pravokotnico na ravnino 
skozi točko C, središče sfere.

51
00:03:13,540 --> 00:03:18,530
Označimo s črko P 
nožišče te pravokotnice.

52
00:03:18,580 --> 00:03:27,580
Izberimo poljubni točki A in B
na preseku sfere in ravnine

54
00:03:27,590 --> 00:03:34,530
Oglejmo si trikotnika 
CPA in CPB.

55
00:03:34,540 --> 00:03:38,530
Delita si skupno 
stranico CP.

56
00:03:38,540 --> 00:03:49,530
Oba imata pravi kot pri točki P,
ker je ravnina pravokotna na daljico CP.

59
00:03:49,660 --> 00:03:55,650
Toda hipotenuzi AC in BC 
imata isto dolžino,

60
00:03:55,660 --> 00:04:03,650
saj A in B ležita na sferi in
sta od središča enako oddaljeni.

62
00:04:03,590 --> 00:04:07,670
Uporabimo Pitagorov izrek!
Pri naših trikotnikih

64
00:04:07,760 --> 00:04:10,630
se po dolžini ujemata par 
hipotenuz in en par katet,

65
00:04:10,640 --> 00:04:14,550
zato se mora ujemati 
tudi tudi drugi par katet!

66
00:04:14,580 --> 00:04:19,580
Dokazali smo torej, da
imata PA in PB isto dolžino,

68
00:04:19,590 --> 00:04:26,580
torej, da A in B ležita na isti 
krožnici s središčem P v modri ravnini.

71
00:04:26,590 --> 00:04:32,580
Zato vse točke, ki hkrati 
ležijo na sferi in ravnini,

74
00:04:32,590 --> 00:04:35,580
pripadajo neki krožnici.

75
00:04:36,550 --> 00:04:40,530
Mar to pomeni, da vse 
točke na tej krožnici

77
00:04:40,610 --> 00:04:44,530
hkrati ležijo na sferi 
in na ravnini?

78
00:04:44,540 --> 00:04:52,530
Samo po sebi ne. To je 
zopet treba dokazati!

80
00:04:55,560 --> 00:04:59,530
Naj bo A taka točka.

81
00:04:59,540 --> 00:05:05,530
V ravnini si ogledamo krožnico
s središčem P skozi točko A.

83
00:05:06,540 --> 00:05:13,530
Dokazali bomo, da je ta 
krožnica vsebovana v sferi.

85
00:05:15,540 --> 00:05:21,720
Naj bo B neka točka 
na tej krožnici.

86
00:05:22,550 --> 00:05:32,530
Poglejte trikotnika CPA in 
CPB s skupno stranico CP.

88
00:05:32,540 --> 00:05:38,530
Oba sta pravokotna, saj 
imata pravi kot pri A,

90
00:05:38,540 --> 00:05:46,530
dolžini PA in PB pa sta enaki, saj
A in B ležita na krožnici s središčem P.

92
00:05:46,540 --> 00:05:52,530
Po Pitagorovem izreku lahko zaključimo, 
da imata hipotenuzi enako dolžino:

95
00:05:52,540 --> 00:05:55,530
dolžina CA je enaka
dolžini CB.

96
00:05:55,540 --> 00:06:04,530
Torej tudi B leži na sferi, saj 
leži na isti razdalji od C kot A.

99
00:06:05,540 --> 00:06:07,530
To je to! 

100
00:06:07,540 --> 00:06:12,650
Dokazali smo, da je presek 
ravnine in sfere enak krožnici.

102
00:06:12,680 --> 00:06:20,530
Zdaj poglejmo premer APB naše krožnice
in ga postavimo v ravnino zaslona.

104
00:06:20,600 --> 00:06:24,600
Modra ravnina se pojavi 
na ekranu kot ravna črta

105
00:06:24,610 --> 00:06:28,500
in sfera kot krožnica.

106
00:06:28,590 --> 00:06:33,550
Narišimo tangenti na krožnico
v točkah A in B.

107
00:06:33,560 --> 00:06:37,550
Sekata se v točki S.

108
00:06:38,560 --> 00:06:45,530
Seveda je premica CS zopet
os simetrije za našo sliko.

110
00:06:45,540 --> 00:06:51,530
Zakaj? Zato, ker sta trikotnika 
CAS in CBS skladna!

112
00:06:51,660 --> 00:06:59,650
Zakaj? Zato, ker sta pravokotna
s skupno hipotenuzo,

115
00:06:59,660 --> 00:07:03,650
stranici CA in CB 
pa sta enake dolžine!

116
00:07:03,660 --> 00:07:07,650
Zakaj? Ker sta to 
dva polmera krožnice.

118
00:07:07,660 --> 00:07:12,650
Vidite, če bi morali iti z vsemi
argumenti čisto do konca,

120
00:07:12,660 --> 00:07:16,650
bi bil to eden najdaljših 
filmov v zgodovini.

121
00:07:16,660 --> 00:07:21,650
Dokazali smo, da si lahko 
krožnico, narisano na sferi,

123
00:07:21,660 --> 00:07:24,650
vedno predstavljamo 
kot kontaktni lokus 

125
00:07:24,660 --> 00:07:29,650
med stožcem revolucije
in tangentno sfero.

126
00:07:30,680 --> 00:07:36,670
Če želite: sfera je kot 
kepica sladoleda v stožcu.

128
00:07:36,680 --> 00:07:41,670
A ne smemo pozabiti,
kaj je naš cilj!

130
00:07:41,680 --> 00:07:47,670
Dokazati, da stereografska projekcija
preslika krožnice v krožnice!

132
00:07:48,550 --> 00:07:55,460
Najprej dokažimo nekaj, 
kar matematiki imenujejo lema.

135
00:07:55,540 --> 00:08:04,650
Tukaj je tangentna ravnina na sfero
v neki točki A, gledano od strani.

137
00:08:08,720 --> 00:08:14,720
Tukaj pa je tangentna ravnina
v neki točki B, spet od strani.

139
00:08:15,760 --> 00:08:20,750
Ti ravnini se sekata 
vzdolž premice d,

140
00:08:20,760 --> 00:08:23,750
a trenutno vidimo le 
eno njeno točko,

141
00:08:23,760 --> 00:08:26,750
saj je ta premica 
pravokotna na zaslon.

142
00:08:27,610 --> 00:08:31,600
Slika, ki jo gledamo,
je simetrična 

144
00:08:31,610 --> 00:08:34,500
glede na simetralo med dvema 
premicama, ki ju vidimo.

145
00:08:34,550 --> 00:08:37,530
Ta 3-razsežna skica 
je simetrična

146
00:08:37,540 --> 00:08:44,530
glede na razpolovitveno ravnino 
med dvema tangentnima ravninama.

147
00:08:54,540 --> 00:08:58,530
Izberite neko ravnino, 
ki vsebuje daljico AB.

148
00:08:58,540 --> 00:09:08,530
Ta seka daljico d v točki M,
razen seveda, če ji je vzporedna.

150
00:09:09,630 --> 00:09:12,630
Simetrija skice glede na 
razpolovitveno ravnino kaže,

151
00:09:12,640 --> 00:09:17,630
da sta daljici AM 
in BM iste dolžine.

152
00:09:17,640 --> 00:09:23,630
Trikotnik ABM je enakokrak!

153
00:09:23,640 --> 00:09:26,630
Tako! To je naša lema!

154
00:09:26,640 --> 00:09:34,630
Zdaj lahko dokažemo naš izrek
z uporabo pravkar dokazanega.

156
00:09:35,550 --> 00:09:38,530
Poglejmo krožnico na sferi, 
ki ne gre skozi severni pol.

157
00:09:38,550 --> 00:09:42,530
Dokazati želimo, da je 
njena projekcija krožnica.

158
00:09:53,550 --> 00:09:58,530
Če bi namesto projekcije na 
tangentno ravnino v južnem polu

159
00:09:58,540 --> 00:10:02,530
projicirali na neko drugo
vzporedno ravnino,

160
00:10:02,540 --> 00:10:07,530
bi znameniti Talesov izrek povedal, 
da so vse projekcije podobne.

163
00:10:07,660 --> 00:10:14,530
Zato lahko za dokaz izberemo 
poljubno projekcijsko ravnino,

165
00:10:14,560 --> 00:10:20,530
da je le vzporedna tangentni 
ravnini v južnem polu.

167
00:10:21,550 --> 00:10:24,530
Postavimo torej rumeno 
krožnico v stožec!

168
00:10:24,550 --> 00:10:30,530
Se spomnite? Kepica sladoleda
v stožcu z vrhom S.

171
00:10:31,540 --> 00:10:38,530
Zdaj projiciramo na 
vodoravno ravnino skozi S.

173
00:10:44,540 --> 00:10:51,530
Točka B se projicira v točko D.
Toda... Poglejte sliko!

175
00:10:51,560 --> 00:10:58,530
Trikotnika AMB in 
DSB sta podobna!

176
00:10:58,540 --> 00:11:03,530
Zakaj? Spet po Talesovem 
izreku! Se strinjate?

178
00:11:03,540 --> 00:11:10,530
Zdaj se spomnite naše leme:
Trikotnik ABM je enakokrak.

180
00:11:10,560 --> 00:11:20,530
Ker isto velja za trikotnik BDS,
sta daljici BS in DS iste dolžine.

183
00:11:31,550 --> 00:11:36,600
Ko se točka B pomika 
vzdolž rumene krožnice,

184
00:11:36,610 --> 00:11:39,530
ostane daljica BS 
tangentna na sfero.

185
00:11:39,560 --> 00:11:42,550
Njena dolžina je 
torej konstantna.

186
00:11:46,550 --> 00:11:52,530
Ker sta daljici BS 
in DS enake dolžine,

187
00:11:52,540 --> 00:11:58,530
tudi daljica DS v gibanju
ohrani konstantno dolžino.

189
00:11:58,540 --> 00:12:03,530
Toda izjava, da ima DS 
konstantno dolžino, 

191
00:12:03,540 --> 00:12:08,530
pomeni natanko to, da D
opisuje krožnico s središčem S,

193
00:12:08,660 --> 00:12:11,530
tako, da je projekcija 
rumene krožnice

194
00:12:11,540 --> 00:12:18,530
na vodoravni ravnini skozi 
S vsebovana v krožnici.

196
00:12:20,610 --> 00:12:25,600
Videli smo, da po Talesovem 
izreku od tod sledi,

198
00:12:25,610 --> 00:12:29,720
da je projekcija na tangentno 
ravnino v južnem polu

199
00:12:29,730 --> 00:12:34,700
spet vsebovana 
v krožnici.

200
00:12:35,720 --> 00:12:42,700
In prav to smo si 
želeli dokazati!